等差数列教案

等差数列教案（锦集十三篇）。

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数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的属性模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：

1、从特殊到一般的研究方法；

2、倒叙相加求和。不仅得出来等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。等差数列的前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其他内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

掌握等差数列的前n项和公式，能较熟练应用等差数列的前n项和公式求和。

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的.能力。

三、教法学法分析

教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。

探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介绍“倒叙相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。

应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成。

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成共有100层。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

设计意图：

（1）、源于历史，富有人文气息。

（1）、学生叙述高斯首尾配对的方法（学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。）

（2）、为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面的问题。

问题1：图案中，第1层到第21层共有多少颗宝石？（这是奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的方法，需要把中间项11看成是首、尾两项1和21的等差中项。

通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇数、偶数个项的情况求和。

（3）、进而提出有无简单的方法。

借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

Sn=（从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在让学生体验“倒叙相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进）

由于前面的铺垫，学生容易得出如下过程：

∵Sn=an+an—1+an—2+…a1，

等差数列的性质（如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq。）

设计意图：

一言以蔽之，数学教学应努力做到：以简驭繁，平实近人，退朴归真，循循善诱，引人入胜。

公式1Sn=；

某长跑运动员7天里每天的训练量如下7500m，8000m，8500m，9000m，9500m，10000m，10500m。这位长跑运动员7天共跑了多少米？（本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。

通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。）

等差数列—10，—6，—2，2，…的前多少项和为54？（本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。

事实上，在两个求和公式中包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一。）

变式练习：在等差数列{an}中，a1=20，an=54，Sn=999，求n。

在等差数列{an}中，已知d=20，n=37，Sn=629，求a1及an。（本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。

事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，连列方程组，就可以求出其余两个。）

4、当堂训练，巩固深化。

通过学生的主体性参与，使学生深刻体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化。

采用课后习题1，2，3。

5、小结归纳，回顾反思。

①、回顾从特殊到一般的研究方法；

②、体会等差数列的基本元素的表示方法，倒叙相加的算法，以及数形结合的数学思想。

①、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

②、通过本节课的学习，你最大的体验是什么？

③、通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？

作业分为必做题和选做题，必做题是对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的延伸与连贯，强调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生的自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

我设计了以下作业：

习题3.3第2题（3，4）。

（1）、已知a2+a5+a12+a15=36，求是S16。

（2）、已知a6=20，求s11。

板书要基本体现课堂的内容和方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互关系：能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；通过使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程更加连贯。

学生学习的结果评价固然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。我采用了及时点评、延时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑探究的过程中，评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神，在概念反思过程中评价学生的归纳猜想能力是否得到发展，通过巩固练习考查学生对本节是否有一个完整的集训，并进行及时的调整和补充。

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1.能正确计算有关0的加减法。

2..培养学生良好的书写习惯和想像能力。重点难点。

弄懂有关0的加减法计算的算理并能正确计算有关0的加减法。教学准备课件，口算卡片教学过程：

3-3=0表示什么意思？（窝里原来有3只小鸟，飞走了3只，窝里现在一只也没有了，用0表示）。

先让学生观察，说图意，老师引导：

左边荷叶上有几只青蛙，右边荷叶上有几只？两片荷叶上一共有几只？用什么方法计算，怎样列式？教师一一板书：4+0=4（4）想一想：5-0=0+0=先说算式的含义，再说得数。课堂小结：

提问：今天，我们学习了什么？你有什么收获？

小结：今天，我们认识了0，知道0表示什么也没有，还表示起点，并且学会了0的正确写法。还会正确计算有关0的加减法。教学反思：

1.充分利用教材的资源，将教材静态的图动态化，让学生在生动有趣的故事情节中体会从有到无这个动态的变化过程，更好地理解0的含义。

2.同时提倡算法多样化，学生根据自己不同的理解计算有关0的加减法。

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1、教学目标

让学生了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数以及指定的项。

2、学情分析

学生在第一节课《数列》的基础上已经初次接触“等差数列”的形式了，对于什么数列是等差数列已经明确，本节课需要学生具体明确的掌握等差数列的概念，通项公式以及基本应用。

3、重点难点

等差数列的概念以及通项公式是重点；概念和通项公式的应用时难点。

4、教学过程

4。1第一学时教学活动

活动1【讲授】等差数列

Ⅰ、问题情境

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法。这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。

课本P41页的4个例子：

①0，5，10，15，20，25，…

②48，53，58，63

③18，15.5，13，10.5，8，5.5

④10072，10144，10216，10288，10366

观察：请仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项）

Ⅱ、认知新课

1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵对于数列，若后一项减去前一项为d（与n无关的数或字母），n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

2、等差数列的通项公式：“两个”

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得……

由此归纳等差数列的通项公式。

故：已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

[范例探究]

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵ —401是不是等差数列—5，—9，—13…的项？如果是，是第几项？

例2已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

注：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0，则{}是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上，一次项的系数是公差，直线在y轴上的截距为q。

③数列{}为等差数列的充要条件是其通项等于pn+q（p、q是常数），称其为第3通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

Ⅲ、课堂练习

课本P45练习1、2、3、4

[补充练习]

1、（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项。

（2）求等差数列10，8，6，……的第20项。

（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

（4）－20是不是等差数列0，－3，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

答案：

（1）分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项。

评述：关键是求出通项公式。

（2）评述：要注意解题步骤的规范性与准确性。

（3）分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数。

（4）解略

Ⅳ、课时小结

通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式；其次，要会推导等差数列的通项公式；并掌握其基本应用。

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问题（幻灯片）：设等差数列 的首项为 ，公差为 ， 由学生讨论，研究高斯算法对一般等差数列求和的指导意义.

，问题是一共有多少个 ，似乎与 的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.

思路二：

上面的等式其实就是 ，为回避个数问题，做一个改写 ， ，两式左右分别相加，得

思路三：受思路二的启发，重新调整思路一，可得 ，于是 .

用梯形面积公式记忆等差数列前 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前 项和的两个公式.

公式中含有四个量，运用方程的思想，知三求一.

解题的关键是数清项数，小结数项数的方法.

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数学教案－等差数列_高一数学教案_模板

§等差数列

目的：1.要求学生掌握等差数列的概念

2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。

重点：1.要证明数列{an}为等差数列，只要证明an+1-an等于常数即可（这里n≥1,且n∈n*）2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(n≥1,且n∈n*).3．等到差中项：若a、a、b成等差数列，则a叫做a、b的等差中项，且

难点：等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能把被减数与减数弄颠倒。

等差数列通项公式的含义。等差数列的通项公式由它的首项和公差所完全确定。换句话说，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。过程：

一、引导观察数列：4，5，6，7，8，9，10，…… 3，0，-3，-6，……，，…… 12，9，6，3，……

特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数—“等差” 二、得出等差数列的定义：（见p115）

注意：从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数。1．名称：ap 首项

公差

2．若

则该数列为常数列

3．寻求等差数列的通项公式：

由此归纳为

当 时

（成立）

注意: 1° 等差数列的通项公式是关于 的一次函数

2° 如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成ap 证明：若

它是以 为首项，为公差的ap。

3° 公式中若

则数列递增，则数列递减

4° 图象： 一条直线上的一群孤立点

三、例题： 注意在 中，，四数中已知三个可以

求出另一个。例1（p115例一）

例2（p116例二）注意：该题用方程组求参数 例3（p116例三）此题可以看成应用题 四、关于等差中项： 如果 成ap 则

证明：设公差为，则

∴

例4 《教学与测试》p77 例一：在-1与7之间顺次插入三个数 使这五个数成ap，求此数列。

解一：∵ ∴ 是-1与7 的等差中项 ∴

又是-1与3的等差中项 ∴

又是1与7的等差中项 ∴

解二：设

∴

∴所求的数列为-1，1，3，5，7 五、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明

例5、已知数列 的前 项和，求证数列 成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。

解：

当 时

时 亦满足 ∴

首项

∴ 成ap且公差为6 2．中项法： 即利用中项公式，若 则 成ap。

例6 已知，成ap，求证，也成ap。

证明： ∵，成ap

∴ 化简得：

=

∴，也成ap 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于 的一次函数这一性质。

例7 设数列 其前 项和，问这个数列成ap吗？

解： 时 时

∵

∴

∴ 数列 不成ap 但从第2项起成ap。

五、小结：等差数列的定义、通项公式、等差中项、等差数列的证明方法 六、作业： p118习题3．2 1-9 七、练习：

1．已知等差数列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d（2）a5=20,a20=-35,写出数列的通项公式及在数列{an}中，an=3n-1，试用定义证明{an}是等差数列，并求出其公差。

注：不能只计算a2-a1、a3-a2、a4-a3、等几项等于常数就下结论为等差数列。

3．在1和101中间插入三个数，使它们和这两个数组成等差数列，求插入的三个数。

4．在两个等差数列2，5，8，…与2，7，12，…中，求1到200内相同项的个数。

分析：本题可采用两种方法来解。

（1）用不定方程的求解方法来解。关键要从两个不同的等差数列出发，根据 相同项，建立等式，结合整除性，寻找出相同项的通项。

（2）用等差数列的性质来求解。关键要抓住：两个等差数列的相同项按原来的前后次序仍组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数。

5．在数列{an}中, a1=1,an= ,(n≥2),其中sn=a1+a2+…+an.证明数列是等 差数列，并求sn。

分析：只要证明(n≥2)为一个常数，只需将递推公式中的an转化 为sn-sn-1后再变形，便可达到目的。

6．已知数列{an}中，an-an-1=2(n≥2), 且a1=1，则这个数列的第10项为（）

a 18 b 19 c 20 d21 7．已知等差数列{an}的前三项为a-1,a+1,2a+3,则此数列的公式为（）

a 2n-5 b 2n+1 c 2n-3 d 2n-1 8.已知m、p为常数，设命题甲：a、b、c成等差数列；命题乙：ma+p、mb+p、mc+p 成等差数列，那么甲是乙的（）

a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件

c 充要条件 d既不必要也不充分条件 9．（1）若等差数列{an}满足a5=b,a10=c(b≠c),则a15=

（2）首项为-12的等差数列从第8项开始为正数，则公差d的取值范围是

（3）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数是

10．已知a5=11,a8=5,求等差数列{an}的通项公式。11．设数列{an}的前n项sn=n2+2n+4(n∈n*)(1)写出这个数列的前三项a1,a2,a3;(2)证明：除去首项后所成的数列a2,a3,a4…是等差数列。

12．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？

13．若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（a≠b）的4个根可以组成首项为 的等到差数列，求a+b 的值。

教学目标

1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.

2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.

3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点

重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具

投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讨论、谈话法.教学过程 一、提出问题

给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）

①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

②8，16，32，64，128，256，…

③1，1，1，1，1，1，1，…

④243，81，27，9，3，1，，…

⑤31，29，27，25，23，21，19，…

⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

⑦1，－10，100，－1000，，－，…

⑧0，0，0，0，0，0，0，…

由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.二、讲解新课

请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）等比数列（板书）

1.等比数列的定义（板书）

根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识：

2.对定义的认识（板书）

（1）等比数列的首项不为0；

（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；

问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？

（3）公比不为0.用数学式子表示等比数列的定义.是等比数列

①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为 是等比数列

？为什么不能？

式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.3.等比数列的通项公式（板书）

问题：用 和 表示第 项.①不完全归纳法

.②叠乘法，…，这 个式子相乘得，所以.（板书）（1）等比数列的通项公式

得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.（板书）（2）对公式的认识

由学生来说，最后归结：

①函数观点；

②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）

如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.三、小结

1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；

2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；

3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.四、作业（略）五、板书设计

三.等比数列 1.等比数列的定义 2.对定义的认识

3.等比数列的通项公式 （1）公式

（2）对公式的认识

教学目标

（1）掌握 与（）型的绝对值不等式的解法．

（2）掌握 与（）型的绝对值不等式的解法．

（3）通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集，培养学生数形结合的能力；

（4）通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式，培养学生化归的思想和转化的能力；

教学重点：

型的不等式的解法；

教学难点：利用绝对值的意义分析、解决问题． 教学过程设计 教师活动 学生活动 设计意图 一、导入新课

?提问】正数的绝对值什么？负数的绝对值是什么？零的绝对值是什么？举例说明？ 【概括】

口答

绝对值的概念是解 与（）型绝对值不等值的概念，为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫． 二、新课

?导入】2的绝对值等于几？－2的绝对值等于几？绝对值等于2的数是谁？在数轴上表示出来．

?讲述】求绝对值等于2的数可以用方程 来表示，这样的方程叫做绝对值方程．显然，它的解有二个，一个是2，另一个是－2． 【提问】如何解绝对值方程 ．

?设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？ 【讲述】根据绝对值的意义，由右面的数轴可以看出，不等式 的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合．

?设问】解绝对值不等式，由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗？这个绝对值不等式的解集怎样表示？

?质疑】 的解集有几部分？为什么 也是它的解集？

?讲述】 这个集合中的数都比－2小，从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大，所以 是 解集的一部分．在解 时容易出现只求出 这部分解集，而丢掉 这部解集的错误． 【练习】解下列不等式：（1）；（2）

?设问】如果在 中的，也就是 怎样解？

?点拨】可以把 看成一个整体，也就是把 看成，按照 的解法来解．

所以，原不等式的解集是

?设问】如果 中的 是，也就是 怎样解？

?点拨】可以把 看成一个整体，也就是把 看成，按照 的解法来解．，或，由 得

由 得

所以，原不等式的解集是

口答．画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数． 画出数轴，思考答案

不等式 的解集表示为

画出数轴 思考答案

不等式 的解集为

或表示为，或

笔答（1）

（2），或

笔答 笔答

根据绝对值的意义自然引出绝对值方程（）的解法．

由浅入深，循序渐进，在（）型绝对值方程的基础上引出（）型绝对值方程的解法． 针对解（）绝对值不等式学生常出现的情况，运用数轴质疑、解惑． 落实会正确解出 与（）绝对值不等式的教学目标． 在将 看成一个整体的关键处点拨、启发，使学生主动地进行练习．

继续强化将 看成一个整体继续强化解 不等式时不要犯丢掉 这部分解的错误． 三、课堂练习解下列不等式：（1）；（2）

笔答（1）；（2）

检查教学目标落实情况． 四、小结的解集是 ； 的解集是

解 绝对值不等式注意不要丢掉 这部分解集．

或 型的绝对值不等式，若把 看成一个整体一个字母，就可以归结为 或 型绝对值不等式的解法． 五、作业

1．阅读课本 含绝对值不等式解法． 2．习题 2、3、4 课堂教学设计说明

1．抓住解 型绝对值不等式的关键是绝对值的意义，为此首先通过复习让学生掌握好绝对值的意义，为解绝对值不等式打下牢固的基础．

2．在解 与 绝对值不等式中的关键处设问、质疑、点拨，让学生融会贯通的掌握它们解法之间的内在联系，以达到提高学生解题能力的目的．

3．针对学生解（）绝对值不等式容易出现丢掉 这部分解集的错误，在教学中应根据绝对值的意义从数轴进行突破，并在练习中纠正这个错误，以提高学生的运算能力．

（第二课时）一、教学目标

1．掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题；

2．掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值；

3．了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4．通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力；

5．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识．

二、教学重点平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件；

教学难点平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用.三、教学具准备

投影仪 四、教学过程

1．设置情境

上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？

2．探索研究

（1）师：什么叫做两个向量的数量积？

生：（与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积）

师：向量的数量积有哪些性质？

生：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

师：向量的数量积满足哪些运算律？

生（由学生验证得出）

交换律：

分配律：

师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证）

生：，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。

（2）例题分析

?例1】求证：

（1）

（2）

分析：本例与多项式乘法形式完全一样。

证：

注：（其中、为向量）

答：一般不成立。

?例2】已知，与 的夹角为，求.解：∵

注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值.【例3】已知，且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直．

分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？

生：

解： 与 互相垂直的充要条件是

即

∵

∴

∴

∴ 当且仅当 时，与 互相垂直．

3．演练反馈（投影）

（1）已知，为非零向量，与 互相垂直，与 互相垂直，求 与 的夹角．

（2），为非零向量，当 的模取最小值时，①求 的值；

②求证： 与 垂直．

（3）证明：直径所对的圆周角为直角． 参考答案：

（1）

（2）解答：①由

当 时 最小；

②∵

∴ 与 垂直.（3）如图所示，设，（其中 为圆心，为直径，为圆周上任一点）

则

∵，∴

即 圆周角

4．总结提炼

（l）

（2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立．

（3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件．

（4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律． 五、板书设计 课题：

1．数量积性质 2．数量积运算律 例题 1 2 3 演练反馈 总结提炼

⬭ 等差数列教案 ⬭

教学目标：

1.知识与技能目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握并会用等差数列的通项公式，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

2.过程与方法目标：培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力;在领会函数与数列关系的前提下，渗透函数、方程的思想。

3.情感态度与价值观目标：通过对等差数列的研究培养学生主动探索、勇于发现的求知的精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

教学重点：

等差数列的概念及通项公式。

教学难点：

(1)理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

(2)等差数列的通项公式的推导过程及应用。

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.回忆上一节课学习数列的定义，请举出一个具体的例子。表示数列有哪几种方法——列举法、通项公式、递推公式。我们这节课接着学习一类特殊的数列——等差数列。

2.由生活中具体的数列实例引入

(1).国际奥运会早期，撑杆跳高的记录近似的由下表给出：

你能看出这4次撑杆条跳世界记录组成的数列，它的各项之间有什么关系吗?

(2)某剧场前10排的座位数分别是：

48、46、44、42、40、38、36、34、32、30

引导学生观察：数列①、②有何规律?

引导学生发现这些数字相邻两个数字的差总是一个常数，数列①先左到右相差0.2，数列②从左到右相差-2。

二.新课探究，推导公式

1.等差数列的概念

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。

强调以下几点：

① “从第二项起”满足条件;

②公差d一定是由后项减前项所得;

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(强调“同一个常数” );

所以上面的2、3都是等差数列，他们的公差分别为0.20，-2。

在学生对等差数列有了直观认识的基础上，我将给出练习题，以巩固知识的学习。

[练习一]判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是?如果是，写出首项a1和公差d，如果不是，说明理由。

1.3，5，7，…… √ d=2

2.9，6，3，0，-3，…… √ d=-3

3. 0，0，0，0，0，0，…….; √ d=0

4. 1，2，3，2，3，4，……;×

5. 1，0，1，0，1，……×

在这个过程中我将采用边引导边提问的方法，以充分调动学生学习的积极性。

2.等差数列通项公式

如果等差数列{an｝首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义可得：

a2 - a1 =d即：a2 =a1 +d

a3 – a2 =d即：a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d即：a4 =a3 +d = a1 +3d

……

猜想: a40 = a1 +39d

进而归纳出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d

此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法：

n=a1+(n-1)d

a2-a1=d

a3-a2=d

a4-a3 =d

……

an –a(n-1) =d

将这(n-1)个等式左右两边分别相加，就可以得到

an-a1=(n-1)d

即an=a1+(n-1)d (Ⅰ)

当n=1时，(Ⅰ)也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式(Ⅰ)都成立，因此它就是等差数列{an｝的通项公式。

三.应用举例

例1求等差数列，12，8，4，0，…的第10项;20项;第30项;

例2 -401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项?如果是，是第几项?

四.反馈练习

1.P293练习A组第1题和第2题(要求学生在规定时间内做完上述题目，教师提问)。目的：使学生熟悉通项公式对学生进行基本技能训练。

五.归纳小结提炼精华

(由学生总结这节课的收获)

1.等差数列的概念及数学表达式.

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

2.等差数列的通项公式an= a1+(n-1) d会知三求一

六.课后作业运用巩固

必做题：课本P284习题A组第3，4，5题

⬭ 等差数列教案 ⬭

【教学目标】

一、知识与技能

1、掌握等差数列前n项和公式；

2、体会等差数列前n项和公式的推导过程；

3、会简单运用等差数列前n项和公式。

二、过程与方法

1． 通过对等差数列前n项和公式的推导，体会倒序相加求和的思想方法；

2、 通过公式的'运用体会方程的思想。

三、情感态度与价值观

结合具体模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣，并通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。

【教学重点】

等差数列前n项和公式的推导和应用。

【教学难点】

在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。

【重点、难点解决策略】

本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

【教学用具】

多媒体软件，电脑

【教学过程】

一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务:

本节课我们来学习《等差数列的前n项和》，那么什么叫数列的前n项和呢，对于数列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用sn表示，记sn=a1+a2+a3+…+an，

如S1 =a1， S7 =a1+a2+a3+……+a7，下面我们来共同探究如何求等差数列的前n项和。

二、问题牵引，探究发现

问题1：（播放媒体资料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少圆宝石吗？

即: S100=1+2+3+······+100=？

著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世；那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。

特点： 首项与末项的和： 1＋100＝101，

第2项与倒数第2项的和： 2＋99 ＝101，

第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，

· · · · · ·

第50项与倒数第50项的和： 50＋51＝101，

于是所求的和是： 101×50＝5050。

1+2+3+ ······ +100= 101×50 = 5050

同学们讨论后总结发言：等差数列项数为偶数相加时首尾配对，变不同数的加法运算为相同数的乘法运算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差数列的项数为奇数时怎么办呢？

探索与发现1：假如让你计算从第一层到第21层的珠宝数，高斯的首尾配对法行吗？

即计算S21=1+2+3+ ······ +21的值，在这个过程中让学生发现当项数为奇数时，首尾配对出现了问题，通过动画演示引导帮助学生思考解决问题的办法，为引出倒序相加法做铺垫。

把“全等三角形”倒置，与原图构成平行四边形。平行四边形中的每行宝石的个数均为21个，共21行。有什么启发？

1+ 2 + 3 + …… +20 +21

21 + 20 + 19 + …… + 2 +1

S21=1+2+3+…+21=（21+1）×21÷2=231

这个方法也很好，那么项数为偶数这个方法还行吗？

探索与发现2：第5层到12层一共有多少颗圆宝石？

学生探究的同时通过动画演示帮助学生思考刚才的方法是否同样可行？请同学们自主探究一下（老师演示动画帮助学生）

S8=5+6+7+8+9+10+11+12=

【设计意图】进一步引导学生探究项数为偶数的等差数列求和时倒序相加是否可行。从而得出倒序相加法适合任意项数的等差数列求和，最终确立倒序相加的思想和方法！

好，这样我们就找到了一个好方法——倒序相加法！现在来试一试如何求下面这个等差数列的前n项和？

问题2：等差数列1,2,3,…，n, … 的前n项和怎么求呢？

解:（根据前面的学习，请学生自主思考独立完成）

【设计意图】强化倒序相加法的理解和运用，为更一般的等差数列求和打下基础。

至此同学们已经掌握了倒序相加法，相信大家可以推导更一般的等差数列前n项和公式了。

问题3：对于一般的等差数列{an}首项为a1，公差为d，如何推导它的前n项和sn公式呢？

即求 =a1+a2+a3+……+an=

∴（1）+（2）可得：2

∴

公式变形：将代入可得：

【设计意图】学生在前面的探究基础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一般等差数列的前n项和公式，从而完成本节课的中心任务。在这个过程中放手让学生自主推导，同时也复习等差数列的通项公式和基本性质。

三、公式的认识与理解：

1、根据前面的推导可知等差数列求和的两个公式为：

（公式一）

（公式二）

探究： 1、（1）相同点： 都需知道a1与n;

（2）不同点： 第一个还需知道an ，第二个还需知道d;

（3）明确若a1,d,n,an中已知三个量就可求Sn。

2、两个公式共涉及a1, d, n, an，Sn五个量，“知三”可“求二”。

2、探索与发现3：等差数列前n项和公式与梯形面积公式有什么联系？

用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列 n 项和的两个公式。，请学生联想思考总结来有助于记忆。

【设计意图】帮助学生类比联想，拓展思维，增加兴趣，强化记忆

四、公式应用、讲练结合

1、练一练：

有了两个公式，请同学们来练一练，看谁做的快做的对！

根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：

（1）a1=5，an=95，n=10

解：500

（2）a1=100，d=－2，n=50

解：

【设计意图】熟悉并强化公式的理解和应用，进一步巩固“知三求二”。

下面我们来看两个例题：

2、例题1：

2000年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。 据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

解:设从2001年起第n年投入的资金为an,根据题意，数列｛an｝是一个等差数列，其中 a1=500, d=50

那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为

答: 从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。

【设计意图】让学生体会数列知识在生活中的应用及简单的数学建模思想方法。

3、例题2：

已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

解：

法1：由题意知

，

代入公式得：

解得，

法2：由题意知

，

代入公式得：

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，

即，

②①得，，故

由得故

【设计意图】掌握并能灵活应用公式并体会方程的思想方法。

4、反馈达标:

练习一：在等差数列{an}中，a1=20， an=54，sn =999,求n.

解：由解n=27

练习2： 已知{an}为等差数列，，求公差。

解：由公式得

即d=2

【设计意图】进一强化求和公式的灵活应用及化归的思想（化归到首项和公差这两个基本元）。

五、归纳总结 分享收获：（活跃课堂气氛，鼓励学生大胆发言，培养总结和表达能力）

1、倒序相加法求和的思想及应用；

2、等差数列前n项和公式的推导过程；

3、掌握等差数列的两个求和公式，；

4、前n项和公式的灵活应用及方程的思想。

…………

六、作业布置：

（一）书面作业：

1、已知等差数列{an}，其中d=2,n=15, an =-10,求a1及sn。

2、在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和。

（二）课后思考：

思考：等差数列的前n项和公式的推导方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢？

【设计意图】通过布置书面作业巩固所学知识及方法，同时通过布置课后思考题来延伸知识拓展思维。

附：板书设计

等差数列的前n项和

1、数列前n项和的定义：

2、等差数列前n项和公式的推导：

3、公式的认识与理解：

公式一：

公式二：

四：例题及解答：

议练活动：

⬭ 等差数列教案 ⬭

一、教材分析

地位和作用

数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的属性模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列。

高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。

在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：

1、从特殊到一般的研究方法；

2、倒叙相加求和。不仅得出来等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。

等差数列的前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其他内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

二、目标分析

（一）、教学目标

1、知识与技能

掌握等差数列的前n项和公式，能较熟练应用等差数列的前n项和公式求和。

2、过程与方法

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

3、情感、态度与价值观

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（二）、教学重点、难点

1、重点：等差数列的前n项和公式。

2、难点：获得等差数列的前n项和公式推导的思路。

三、教法学法分析

（一）、教法

教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。

探索与发现公式推导的思路是教学的重点。如果直接介绍“倒叙相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。

应用公式也是教学的重点。为了让学生较熟练掌握公式，可采用设计变式题的教学手段，通过“选择公式”，“变用公式”，“知三求二”三个层次来促进学生新的认知结构的形成。

（二）、学法

建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

四、教学过程分析

（一）、教学过程设计

1、问题呈现阶段

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是世界七大奇迹之一。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成共有100层。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

设计意图：

（1）、源于历史，富有人文气息。

（2）、承上启下，探讨高斯算法。

2、探究发现阶段

（1）、学生叙述高斯首尾配对的方法（学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。）

（2）、为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面的问题。

问题1：图案中，第1层到第21层共有多少颗宝石？（这是奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的方法，需要把中间项11看成是首、尾两项1和21的等差中项。

通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇数、偶数个项的情况求和。

（3）、进而提出有无简单的方法。

借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。

获得算法：S21=

设计意图：

几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面，只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

问题2：求1到n的正整数之和。即Sn=1+2+3+…+n

∵Sn=n+（n—1）+（n—2）+…+1

∴2Sn=（n+1）+（n+1）+…。+（n+1）

Sn=（从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，旨在让学生体验“倒叙相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进）

由于前面的铺垫，学生容易得出如下过程：

∵Sn=an+an—1+an—2+…a1，

∴Sn=。

图形直观

等差数列的性质（如果m+n=p+q，那么am+an=ap+aq。）

设计意图：

一言以蔽之，数学教学应努力做到：以简驭繁，平实近人，退朴归真，循循善诱，引人入胜。

3、公式应用阶段

（1）、选用公式

公式1Sn=；

公式2Sn=na1+。

（2）、变用公式

（3）、知三求二

例1

某长跑运动员7天里每天的训练量如下7500m，8000m，8500m，9000m，9500m，10000m，10500m。这位长跑运动员7天共跑了多少米？（本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、尾项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。

通过两种方法的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。）

例2

等差数列—10，—6，—2，2，…的前多少项和为54？（本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。

事实上，在两个求和公式中包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一。）

变式练习：在等差数列{an}中，a1=20，an=54，Sn=999，求n。

知三求二：

例3

在等差数列{an}中，已知d=20，n=37，Sn=629，求a1及an。（本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。

事实上，在求和公式、通项公式中共有首项、公差、项数、尾项、前n项和五个元素，如果已知其中三个，连列方程组，就可以求出其余两个。）

4、当堂训练，巩固深化。

通过学生的主体性参与，使学生深刻体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化。

采用课后习题1，2，3。

5、小结归纳，回顾反思。

小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，从知识、方法、经验等方面进行总结。

（1）、课堂小结

①、回顾从特殊到一般的研究方法；

②、体会等差数列的基本元素的表示方法，倒叙相加的算法，以及数形结合的数学思想。

③、掌握等差数列的两个球和公式及简单应用

（2）、反思

我设计了三个问题

①、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？

②、通过本节课的学习，你最大的体验是什么？

③、通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？

（二）、作业设计

作业分为必做题和选做题，必做题是对本节课学生知识水平的反馈，选做题是对本节课内容的延伸与连贯，强调学以致用。通过作业设置，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生的自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

我设计了以下作业：

1、必做题：课本p118，练习1，2，3；

习题3第2题（3，4）。

2、选做题：

在等差数列中，

（1）、已知a2+a5+a12+a15=36，求是S16。

（2）、已知a6=20，求s11。

（三）、板书设计

板书要基本体现课堂的内容和方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互关系：能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；通过使用幻灯片辅助板书，节省课堂时间，使课堂进程更加连贯。

五、评价分析

学生学习的结果评价固然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价。我采用了及时点评、延时点评与学生互评相结合，全面考查学生在知识、思想、能力等方面的发展情况，在质疑探究的过程中，评价学生是否有积极的情感态度和顽强的理性精神，在概念反思过程中评价学生的归纳猜想能力是否得到发展，通过巩固练习考查学生对本节是否有一个完整的集训，并进行及时的调整和补充。

⬭ 等差数列教案 ⬭

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。

等差数列的'性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；

（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；

（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；

（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时,高一，有as+at=2ap；

（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。

（6）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．

②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有

③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；

④ 是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；

⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；

(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；

(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．

⬭ 等差数列教案 ⬭

1.若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为(  )

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6=S3=12，则{an}的通项an=________.

解析：由已知a1+5d=123a1+3d=12a1=2，d=2.故an=2n.

4.在等差数列{an}中，已知a5=14，a7=20，求S5.

a1=a5-4d=14-12=2，

所以S5=5a1+a52=52+142=40.

1.(杭州质检)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=1，a3=3，则S4=(  )

S4=4a1+4×32×2=8.

2.在等差数列{an}中，a2+a5=19，S5=40，则a10=(  )

解析：选C.由已知2a1+5d=19，5a1+10d=40.

解得a1=2，d=3.∴a10=2+9×3=29. X k b 1 . c o m

3.在等差数列{an}中，S10=120，则a2+a9=(  )

解析：选B.S10=10a1+a102=5(a2+a9)=120.∴a2+a9=24.

4.已知等差数列{an}的公差为1，且a1+a2+…+a98+a99=99，则a3+a6+a9+…+a96+a99=(  )

解析：选B.由a1+a2+…+a98+a99=99，

得99a1+99×982=99.

∴a1=-48，∴a3=a1+2d=-46.

又∵{a3n}是以a3为首项，以3为公差的等差数列.

=33(48-46)=66.

5.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有(  )

又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2，

将③代入④中得n=13.

6.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的'和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(  )

解析：选B.由等差数列前n项和的性质知S偶S奇=nn+1，即150165=nn+1，∴n=10.

7.设数列{an}的首项a1=-7，且满足an+1=an+2(n∈N*)，则a1+a2+…+a17=________.

∴{an}是一个首项a1=-7，公差d=2的等差数列.

∴a1+a2+…+a17=S17=17×(-7)+17×162×2=153..

8.已知{an}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，则其公差为d=__________.

9.设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12=-8，S9=-9，则S16=________.

解析：由等差数列的性质知S9=9a5=-9，∴a5=-1.

又∵a5+a12=a1+a16=-9，

∴S16=16a1+a162=8(a1+a16)=-72.

10.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2-23n-2(n∈N*).

(1)写出该数列的第3项;

(2)判断74是否在该数列中.

(2)n=1时，a1=S1=-24，

n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-24，

即an=-24，n=1，2n-24，n≥2，

由题设得2n-24=74(n≥2)，解得n=49.

∴74在该数列中.

11.(高考课标全国卷)设等差数列{an}满足a3=5，a10=-9.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.

a1+2d=5，a1+9d=-9，可解得a1=9，d=-2，

所以数列{an}的通项公式为an=11-2n.

(2)由(1)知，Sn=na1+nn-12d=10n-n2.

因为Sn=-(n-5)2+25，

所以当n=5时，Sn取得最大值.

12.已知数列{an}是等差数列.

(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数;

(2)Sn=20，S2n=38，求S3n.

解：(1)由题意知a1+a2+a3+a4=21，an-3+an-2+an-1+an=67，

所以a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88.

所以a1+an=884=22.

因为Sn=na1+an2=286，所以n=26.

(2)因为Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列，

所以S3n=3(S2n-Sn)=54.

⬭ 等差数列教案 ⬭

1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.

（1）了解公差的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等差中项的概念；

（2）正确认识使用的各种表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公差、项数、指定的项；

（3）能通过通项公式与图像认识的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.

2.通过的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过通项公式的运用，渗透方程思想.

3.通过概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对的研究，使学生明确与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.

①教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.

②通过不完全归纳法得出的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外， 出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.

①本节内容分为两课时，一节为的定义与表示法，一节为通项公式的应用．

②定义的引出可先给出几组，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．

③的定义归纳出来后，由学生举一些的例子，以此让学生思考确定一个的条件．

④由学生根据一般数列的表示法尝试表示，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项 可看作项数 的一次型（ ）函数，这与其图像的形状相对应．

⑤有穷的末项与通项是有区别的，数列的通项公式 是数列第 项 与项数 之间的函数关系式，有穷的项数未必是 ，即其末项未必是该数列的第 项，在教学中一定要强调这一点．

⑥前 项和的公式推导离不开的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．

⑦是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．

1.通过教与学的互动，使学生加深对通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；

2.利用通项公式求的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；

3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.

教学重点是通项公式的认识；教学难点 是对公式的灵活运用．

前一节课我们学习了的概念、表示法，请同学们回忆的定义，其表示法都有哪些？

的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.

通项公式 反映了项 与项数 之间的函数关系，当的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知 求 ）.找学生试举一例如：“已知 中，首项 ，公差 ，求 .”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.

（1）已知 中，首项 ，公差 ，则－397是该数列的第______项.

这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量 ， 在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.

（1）已知 中， ，求 的值.

（2）已知 中， ， 求 .

若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于 和 的二元方程组，所以这些是确定的，由 和 写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于 和 的二元方程组，以求得 和 ， 和 称作基本量.

教师提出新的问题，已知的一个条件（等式），能否确定一个？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于 和 的二元方程，这是一个 和 的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.

由条件可得 即 ，可知 ，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题

（3）已知 中， 求 ； ； ； ；….

（4）已知 中， 求 的值.

，考察 随项数 的变化规律.着重考虑 的情况. 此时 是 的一次函数，其单调性取决于 的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.

（1）已知数列 的通项公式为 ，问数列从第几项开始小于0？

（2） 从第________项起以后每项均为负数.

1. 用方程思想认识通项公式；

⬭ 等差数列教案 ⬭

1、用倒序相加法求数列的前n项和。

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

2、用公式法求数列的前n项和(等差数列公式求和公式：Sn=n(a1+an)/2或Sn=na1+n(n-1)d/2)。

对等差数列，求前n项和Sn可直接用等差数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

3、用裂项相消法求数列的前n项和。

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

　4、用构造法求数列的前n项和。

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

⬭ 等差数列教案 ⬭

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